Progressions par différence

Jean Macé Notions d'arithmétique élémentaire

CHAPITRE XV

Progressions par différence

source : http://www.menageremag.com/peindre-un-escalier-tout-en-continuant-a-sen-servir.html

Alignez l’une au-dessous de l’autre ces deux séries de nombres :

 

6	14	22	30	38
38	30	22	14	6

Chacun de ces nombres diffère de celui qui le précède d’une quantité qui est la même pour tous : 8.

C’est là ce qu’on appelle des progressions [1] par différence.

Dans la première série, les nombres vont toujours en augmentant de 8 : c’est une progression croissante.

Dans la seconde, ils vont toujours en diminuant de 8 : c’est une progression décroissante.

8, le nombre dont ils diffèrent, est la raison de ces deux progressions et les 5 nombres dont chacune se compose sont ses termes.

Quand on écrit une progression par différence, on la fait précéder d’une barre avec deux points, l’un au-dessus, l’autre au-dessous, et l’on met un point entre chacun de ses termes.

Comme vous le voyez, le total des cinq colonnes est toujours le même : 44.

Cela tient à une propriété de la progression par différence, à savoir que la somme de ses deux termes extrêmes est constamment égale à la somme des autres termes pris, deux à deux, à égale distance, l’un du premier, l’autre du dernier.

Or, la progression décroissante n’étant ici que la progression croissante retournée, le premier et le dernier terme de celle-ci se retrouvent forcément en tête et en queue de l’autre; leurs deux voisins se font face également; le terme du milieu étant le même dans les deux séries, il suffira de le doubler dans toute progression par différence dont les termes seront en nombre impair, pour avoir un total égal à celui des autres couples.

Cette uniformité de total s’explique facilement si l’on fait attention que les 4 termes s’échelonnant derrière le premier 6, le contiennent tous 1 fois, plus la raison 8, 1 fois, 2 fois, 3 fois, 4 fois, à la suite.

Il en résulte que l’on a :

       6 + 38 = 2 fois 6, plus 4 fois 8

     14 + 30 = 2 fois 6, plus 1 fois 8 et 3 fois 8

     22 + 22 = 2 fois 6, plus 2 fois et 2 fois 8

Puis reviennent 30 et 14, 38 et 6, c’est-à-dire que les 3 couples contiennent tous également 2 fois 6 et 4 fois 8.

Or :

6 X 2 = 12

8 X 4 = 32

TOTAL 44

On trouvera nécessairement le même résultat pour toute progression par différence dont on additionnera deux termes pris dans l’ordre qui vient d’être indiqué.

Il suit de là que pour trouver le premier terme d’une progression par différence dont on aura les autres termes et la raison, il suffira de soustraire la raison du premier des termes connus : la différence sera le terme cherché.

14 — 8 = 6

Si l’on n’avait pas la raison, il suffirait pour la trouver de soustraire n’importe lequel des termes de celui qui le suit immédiatement :

14 — 6 = 8

Si l’on n’a que le nombre des termes, le dernier et la raison, on trouvera le premier, qui permettra de rétablir tous les autres, en soustrayant du terme connu le produit de la raison multipliée par le nombre des autres termes.

Soit notre progression à 5 termes, sa raison : 8, et son dernier terme : 38, on dirait :

8 X 4 = 32

38 — 32 = 6

Ayant enfin le premier terme et la raison, on aura celui des termes de la progression que l’on voudra, sans passer par les termes intermédiaires, en multipliant la raison par le nombre des termes venant avant celui qu’on cherche, et ajoutant le premier terme au produit obtenu.

8 X 4 = 32 ; 32 + 6 = 38 ; 5^e terme.

8 X 9 = 72 ; 72 + 6 = 78 ; 10^e terme.

On obtient la somme des termes d’une progression par différence en multipliant le total des deux termes extrêmes par la moitié du nombre des termes. Soit, encore une fois, notre progression à 5 termes

5 : 2 = 2,5

6 + 38 = 44 ; 44 X 2,5 = 110

Faites l’addition des 5 termes de la progression, vous trouverez bien 110, et en effet, 5 fois 44, ou 220, doivent nécessairement donner le double du total réel, puisque les 5 termes s’y trouvent contenus chacun 2 fois, ainsi que nous venons de le voir.

Tout ce qui vient d’être dit s’applique à la progression croissante. S’il s’agissait d’une progression décroissante, on obtiendrait les mêmes résultats par les mêmes procédés, en opérant à rebours, c’est-à-dire en renversant l’ordre des termes, le premier devenant le dernier.

En effet, la progression décroissante n’étant qu’une progression croissante retournée, comme on l’a vu au commencement, un retournement en sens inverse la replace nécessairement dans les conditions premières.

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[1] Progression vient du verbe latin progredi, marcher en avant, dont nous avons fait notre mot : progrès.